De doelvariabele stelt het verschijnsel voor dat we willen onderzoeken. De doelvariabele noemen we Y. Hij neemt voor elk element in de populatie een zekere waarde aan. Die waarden geven we aan met

Is de doelvariabele bijvoorbeeld het inkomen van de te onderzoeken personen, dan is Y₁ het inkomen van persoon 1, Y₂ het inkomen van persoon 2, enz.

Doel van het onderzoek is het doen van uitspraken over bepaalde karakteristieken van de doelpopulatie. Zulke karakteristieken worden meestal aangeduid als populatiegrootheden.

Een belangrijke populatiegrootheid is het populatiegemiddelde. Het populatiegemiddelde van de doelvariabele Y is gedefinieerd als

Zou Y het inkomen van een persoon in de populatie aanduiden, dan is het populatiegemiddelde gelijk aan het gemiddelde inkomen in de populatie.

Doel van het onderzoek kan ook zijn het schatten van het percentage elementen dat een bepaalde eigenschap heeft. In deze situatie kan de doelvariabele twee mogelijke waarden aannemen:

• Heeft een element de betreffende eigenschap, dan is de waarde van Y gelijk aan 1;
• Heeft een element de betreffende eigenschap niet, dan is de waarde van Y gelijk aan 0.

Een andere populatiegrootheid die nog moet worden genoemd, is de populatievariantie. Deze grootheid zegt iets over de mate van variatie van de waarden van de doelvariabele. De populatievariantie is gedefinieerd als

De populatievariantie speelt een belangrijke rol bij het bepalen van de nauwkeurigheid van schattingen. Deze grootheid kan ook worden opgevat als een maat voor de homogeniteit van de populatie. Heeft bijvoorbeeld iedereen in de populatie hetzelfde inkomen, dan is elk inkomen ook gelijk aan het gemiddelde inkomen. In deze situatie is de populatievariantie dus gelijk aan 0. Naarmate de inkomensverschillen groter zijn, zal ook de populatievariantie toenemen.

De indicator t_k geeft aan of element k uit de populatie is getrokken. Deze grootheid kan alleen de waarden 0 en 1 aannemen (niet of wel getrokken). Aangezien de waarden van deze indicatoren het resultaat zijn van de werking van een kansmechanisme, noemen we ze stochastische variabelen of kansvariabelen. De steekproefomvang n kan worden teruggevonden door optellen van de indicatoren:

Voor de geselecteerde elementen (dus de elementen met de geselecteerde volgnummers) meten we de waarde van de doelvariabele. Dit zijn de metingen die in het steekproefonderzoek beschikbaar komen. De beschikbare metingen geven we aan met

Merk op dat we zoveel mogelijk kleine letters gebruiken voor alles wat met de steekproef te maken heeft, en hoofdletters voor alles wat betrekking heeft op de populatie. Dus y₁ is de waarde van het eerste element in de steekproef, dus van de eerste indicator met een waarde groter dan 0.

Voor alle elementen in de steekproef kan de waarde van de doelvariabele worden waargenomen en vastgelegd.

Om het lotingsmechanisme op eerlijke en objectieve wijze te kunnen laten werken, is een soort apparaat nodig. Een dergelijke apparaat heet een aselector. De aselector moet voldoen aan de volgende eigenschappen:

• Het apparaat kan herhaaldelijk worden gebruikt;
• Iedere keer dat het apparaat in werking wordt gesteld geeft het één van de getallen 1 t/m N als uitkomst, waarbij N bekend wordt verondersteld;
• Elke keer opnieuw hebben alle mogelijk uitkomsten dezelfde kansen. Kennis over eerder uitkomsten helpt niet bij het voorspellen van een volgende uitkomst. Kortom, elk voorspellingssysteem faalt.

• Het raadplegen van een tabel met aselecte getallen (voor kleine steekproeven);
• Het gebruik van een rekenmachine (voor kleine steekproeven);
• Het gebruik van een computer(voor grote steekproeven);

Stel, er moet een steekproef van 10 leden worden getrokken uit een ledenbestand van een vereniging die uit 682 leden bestaat. Daarvooer zijn 10 aselecte getallen nodig uit de reeks van 1 t/m 682. Kies in de tabel een willekeurig beginpunt en nemen een willekeurige route door de aselecte getallen. Neem bijvoorbeeld steeds drie opeenvolgende cijfers en zie dat als een getal van drie cijfers. Is dat getal groter dan 682, negeer het dan en pakn het volgende getal. Is het getal uit de reeks van 1 t/m 682, dan is dat het volgnummer van een lid dat in de steekproef komt. Wordt linksboven begonnen, van links naar rechts gegaan, en steeds van elke groep van vijf cijfers de eerste drie genomen, dan zijn de eerste 10 aselecte getallen:

     008, 631, 040, 293, 687, 342, 418, 948, 115, 076, ...

De getallen 687 en 948 zijn groter dan 682, en doen daarom niet mee. De eerste 8 geselecteerde leden zijn dus de leden met volgnummers

     8, 631, 40, 293, 342, 418,115 en 76.

Veel programmeertalen en rekenmachines hebben tegenwoordig de mogelijkheid om aselecte getallen te genereren. Heel vaak is er een routine aanwezig die een aselecte waarde genereert uit het interval [0, 1). De waarde 0 kan dus voorkomen, maar de waarde 1 net niet. Deze routine kan worden gebruikt voor het trekken van een willekeurig volgnummer uit de reeks 1 t/m N. Dit gaat als volgt:

1. Trek een aselecte waarde uit [0, 1).
2. Vermenigvuldig die waarde met de populatieomvang N.
3. Rond de uitkomst naar beneden af op een gehele waarde.
4. Tel bij de uitkomst 1 op.

     0,12073 0,76580 0,28601 0,14410

produceren, dan leidt toepassing van het bovenstaande algoritme voor N = 682 tot de nummers

     83, 523, 196, 99

De tabel met aselecte getallen kan ook worden gebruikt in combinatie met het bovenstaande algoritme. Neem steeds een groepje opeenvolgende cijfers, en zie dat als het deel achter de komma van een getal tussen 0 en 1. Nemen we de eerste 4 groepen van vijf cijfers in de eerste rij, dan krijgen we

     0,00822 0,63134 0,04080 0,29373

waarna toepassing van het algoritme leidt tot de nummers

     6, 431, 28, 201.

De steekproeven moet worden getrokken zonder teruglegging. Dit betekent dat een element ten hoogste één keer in de steekproef kan worden getrokken. Mocht toepassing van bovenstaand algoritme ertoe leiden dat een al eerder getrokken volgnummer nogmaals wordt getrokken, dan moet dit tweede volgnummer worden genegeerd, en een nieuwe poging worden gedaan.

Het zijn deze waarden die moeten worden gebruikt voor het schatten van de populatiegrootheden. Het recept voor de berekening van een schatting wordt een schatter genoemd. Bruikbare schatters moeten enkele speciale eigenschappen hebben:

• De schatter moet zuiver zijn. Zou de trekking van de steekproef een groot aantal malen worden herhaald, dan moet het gemiddelde van alle schattingsuitkomsten bij benadering gelijk zijn aan de te schatten waarde van de populatiegrootheid. De eis van zuiverheid garandeert dat de schatter nooit de waarde van de populatiegrootheid systematisch over- of onderschat.

• De schatter moet ook nauwkeurig zijn. Dit houdt in dat de variatie in de mogelijke uitkomsten klein moet zijn. In het ideale geval levert de schatter altijd de juiste waarde op.

Het schatten van een populatiegemiddelde

een zuivere schatter voor het populatiegemiddelde. De nauwkeurigheid van deze schatter wordt gemeten met de variantie van de schatter. Voor een enkelvoudige aselecte steekproef zonder teruglegging is de variantie van het steekproefgemiddelde gelijk aan

Hierin is

de al eerder genoemde populatievariantie. De schatter is nauwkeuriger naarmate de variantie kleiner is. De grootte van de variantie wordt door twee factoren bepaald:

• De populatievariantie. Naarmate de populatie homogener is, zal de schatter nauwkeuriger zijn.
• De steekproefomvang. Naarmate de omvang van de steekproef groter is, zal de schatter nauwkeuriger zijn.

is een zuivere schatter voor de populatievariantie. En dus is

een zuivere schatter voor de variantie van de schatter.

Het schatten van een populatiepercentage

Voor het schatten van dit populatiepercentage moet eerst het populatiegemiddelde worden geschat. Daarvoor wordt het steekproefgemiddelde gebruikt. In dit geval is dat gelijk aan de fractie elementen in de steekproef met het betreffende kenmerk. Vermenigvuldigen van dit steekproefgemiddelde met 100 geeft het steekproefpercentage. Dit wordt aangegeven met

Aangezien het steekproefgemiddelde een zuivere schatter is voor het populatiegemiddelde, is het steekproefpercentage een zuivere schatter voor het populatiepercentage.

De variantie van het steekproefpercentage is gelijk aan

Deze variantie kan worden geschat op basis van de steekproefgegevens met behulp van de formule

Betrouwbaarheidsinterval

Deze standaardfout kan worden geschat door in deze formule de populatie-variantie te vervangen door de schatter voor de populatievariantie:

Het betrouwbaarheidsinterval wordt gekenmerkt door een onder- en een bovengrens die zijn bepaald op grond van de beschikbare gegevens, en wel zo dat de kans dat dit interval de (onbekende) populatiewaarde bevat, minstens gelijk is aan een van te voren vastgestelde (grote) kans 1 - α De grootheid 1 - α wordt de betrouwbaarheid genoemd.

Vaak wordt voor α de waarde 0,05 gekozen. Daaruit volgt dat de betrouwbaarheid dan gelijk is aan 0,95. De betekenis daarvan is de volgende: als de steekproeftrekking en de berekening van de schatting een groot aantal malen zou worden herhaald, dan zou in gemiddeld 95 van de 100 gevallen het betrouwbaarheidsinterval de te schatten populatiewaarde bevatten.

Als dus de uitspraak wordt gedaan dat het betrouwbaarheidsinterval de onbekende populatiewaarde bevat, dan is die inspraak in gemiddeld 5% van de gevallen een onjuiste uitspraak. Anders geformuleerd: de onderzoeker loopt het risico in gemiddeld 1 op de 20 gevallen een verkeerde uitspraak te doen.

De keuze van de betrouwbaarheid is in principe vrij. Is een uitspraak met een hoge betrouwbaardheid vereist, dan moeten de waarde van α kleiner worden genomen. Een waarde α=0,01 zou bijvoorbeeld kunnen worden overwogen. Daarvoor moet wel een prijs worden betaald. Die prijs is dat het resulterende betrouwbaarheidsinterval groter zal zijn. Er is in feite sprake van een uitruil tussen betrouwbaarheid en nauwkeurigheid: òf er wordt een minder nauwkeurige uitspraak met een grote betrouwbaarheid gedaan, òf een nauwkeurige uitspraak met een minder grote betrouwbaarheid.

De grenzen van het betrouwbaarheidsinterval zijn betrekkelijk eenvoudig te bepalen. Het midden van het interval is de waarde van de schatting zelf (dus het steekproefgemiddelde, of het steekproefpercentage). Daarbij wordt een bepaalde marge M opgeteld voor de bovengrens, en aftrekken van de marge geeft de ondergrens. Die marge is gelijk aan de standaardfout van de schatter, vermenigvuldigd met een constante. Voor een betrouwbaarheid van 0,95 is deze constante gelijk aan 1,96.

Voor het schatten van het populatiegemiddelde wordt het 95%-betrouwbaarheidsinterval

Voor het schatten van het populatiepercentage wordt het 95%-betrouwbaarheidsinterval

In de praktijk is de standaardfout niet bekend. Daarom wordt deze grootheid in de formule vervangen door de schatter van de standaardfout.

Er kan geen eenduidig antwoord op deze vraag worden gegeven. Er is een verband tussen de omvang van de steekproef en de nauwkeurigheid van de uitspraken die over de populatie kunnen worden gedaan. Hoe groter de steekproef, des te nauwkeuriger de uitspraken.

Steekproefomvang voor het schatten van een gemiddelde

Voor grote waarden van N kan de formule worden vereenvoudigd tot

Probleem bij beide formules is dat de waarde van (de wortel uit) de populatievariantie in veel gevallen niet bekend is. Soms kan een schatting worden gemaakt op grond van voorgaand onderzoek, of misschien is er een indicatie van de waarde uit een proefonderzoek. Dan kan deze waarde worden ingevuld. Als er totaal geen indicatie is voor de waarde van S, dan kunnen de volgende vuistregels eventueel uitkomst bieden:

• De waarden van de doelvariabele zijn min of meer normaal verdeeld over een interval van bekende lengte L. Dan zal L ongeveer gelijk zijn aan 6S, en kan voor S dus de waarde 0,17 L worden ingevuld.

• De waarden van de doelvariabele zijn gelijkmatig verdeeld over een interval van bekend lengte L. Dan zal S ongeveer gelijk zijn aan 0,3 L.

• De waarden van de doelvariabele zijn ongeveer exponentieel verdeeld over een interval van bekend lengte. Dat betekent dat er heel veel kleine waarden zijnn en heel weinig grote waarden. Dan zal S ongeveer gelijk zijn aan 0,4 L.

• De meest ongunstige situatie wordt verkregen als de heflt van de waarden zich bevindt aan het linker uiteinde van het interval van lengte L, en de andere helft van de waarden aan het rechter uiteinde van het interval. In dit geval is S gelijk aan 0,5 L.

Steekproefomvang voor het schatten van een percentage

Een waarde van M=2 betekent bijvoorbeeld dat een afwijking van meer dan 2 procentpunten niet is toegestaan. Dan kan de bijbehorende steekproefomvang n worden uitgerekend via de formule:

In principe is P onbekend, want die waarde moet juist worden geschat. Soms is er echter een ruwe indicatie van P bekend uit vorig of ander onderzoek. Die indicatie moet dan worden ingevuld. Is er echt helemaal niets bekend over P, vul dan voor P de waarde 50 in. Dit levert een steekproefomvang die in ieder geval nauwkeurig genoeg is.

Voorbeeld 1:

Populatie van N = 40 000, P = 50, M = 3 (afwijking niet groter dan 3%):

Voorbeeld 2:

Populatie van N = 400, P = 50, M = 5 (afwijking niet groter dan 5%):

Benadering 1:

Als de populatieomvang N erg groot is, zeg N > 10000, dan kan de formule worden vereenvoudigd tot

Benadering 2:

Als de populatieomvang N erg groot is, zeg N > 10000, en P is helemaal onbekend dan kan de formule worden vereenvoudigd tot